Question

关于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），以下说法正确的有

 

．
①f（x）可能无零点；
②f（x）一定是中心对称图形，且对称中心一定在f（x）的图象上；
③f（x）至多有2个极值点；
④当f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂，且

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

＜1，f（x₁）=x₁，则方程3a[f（x）]²+2bf（x）+c=0的不同实根个数为3个或4个．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：根据三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的图象和性质，分析函数零点的个数，对称中心的坐标，极值点的个数，及方程3a[f（x）]²+2bf（x）+c=0的不同实根个数，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），至少存在一个零点，最多有三个零点，故①错误；
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″（x）=6a×（-

b

3a

）+2b=0，
∴任意三次函数都关于点（-

b

3a

，f（-

b

3a

））对称，即②正确；
f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），可能没有极值点，也可有一个极大值点，一个极小值点，故f（x）至多有2个极值点，故③正确；
若f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂，则x₁，x₂为方程3ax²+2bx+c=0的两个不相等的实根，
不妨令x₁＜x₂，由f（x₁）=x₁，得存在x₃＞x₂使f（x₃）=x₁，即x₁，x₃为方程3a[f（x）]²+2bf（x）+c=0的不同实根，
此时f（x）=x₂只有一个根，
综上方程3a[f（x）]²+2bf（x）+c=0的不同实根个数为3个，故④错误；
故答案为：②③

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，三次函数的图象和性质，难度较大，综合性可，运算量大，属于难题．