Question

已知开口向上的二次函数f（x）=ax²+2bx+c，（a，b，c∈R）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）-2x+3b=0的两个实数根分别在区间（0，1）和（1，2）内．若向量

m

=(1，-2)，

n

=(a，b)，则

m

•

n

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,平面向量及应用,直线与圆

分析：由f（1）=0，则a＞0，a+2b+c=0，即c=-a-2b，再令g（x）=ax²+（2b-2）x+c+3b的零点分别在区间（0，1）和（1，2）内，即有

g(0)＞0 g(1)＜0 g(2)＞0

，化简可得

b＞a 3b＜2 3a+5b＞4

，在平面直角坐标系a-O-b中，画出上面不等式组表示的平面区域，求出交点A，C，再由向量的数量积坐标公式得到

m

•

n

=a-2b，在平面直角坐标系a-O-b中，作出直线l：z=a-2b，平移直线l，通过观察即可得到取值范围．

解答： 解：由于开口向上的二次函数f（x）=ax²+2bx+c，
满足f（1）=0，则a＞0，a+2b+c=0，即c=-a-2b，
由于关于x的方程f（x）-2x+3b=0的两个实数根分别在区间（0，1）和（1，2）内，
则有g（x）=ax²+（2b-2）x+c+3b的零点分别在区间（0，1）和（1，2）内，
即有

g(0)＞0 g(1)＜0 g(2)＞0

，即有

c+3b＞0 a+5b+c＜2 4a+7b+c＞4

，即

b＞a 3b＜2 3a+5b＞4

，
在平面直角坐标系a-O-b中，画出上面不等式组表示的平面区域，如右图：由直线a-b=0和直线3a+5b-4=0，解得交点C（

1

2

，

1

2

），
由直线3b-2=0和直线3a+5b-4=0，解得交点A（

2

9

，

2

3

），
由于向量

m

=(1，-2)，

n

=(a，b)，则

m

•

n

=a-2b，
在平面直角坐标系a-O-b中，作出直线l：z=a-2b，
通过平移直线l，当l经过点C时，z=

1

2

-2×

1

2

=-

1

2

，
当l经过点A点时，z=

2

9

-2×

2

3

=-

10

9

．
则所求的取值范围是：(-

10

9

，-

1

2

)．
故答案为：（-

10

9

，-

1

2

）．

点评：本题考查二次函数的零点的分布，考查二次函数的图象和性质，考查不等式组表示的平面区域，同时考查向量的数量积的坐标公式，以及平移直线得到最值的方法，考查数形结合的思想方法，属于中档题．