Question

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），且椭圆C的短轴长为2，
（1）过点F₂的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求直线l的方程；
（2）若动点P（x，y）在椭圆上，求

y-2

x

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意，c=1，b=1，则a=

2

，从而写出椭圆的方程，设直线l的方程为x=ay+1，联立可得（a²+2）y²+2ay-1=0，由根与系数的关系可得，y₁y₂=

-1

a2+2

，y₁+y₂=

-2a

a2+2

，由OP⊥OQ可得x₁•x₂+y₁y₂=0，从而解出a=±

2

2

，从而得到直线l的方程；
（2）设

y-2

x

=k，则y=kx+2，与椭圆方程联立化简可得（2k²+1）x²+8kx+6=0，则由题意知△=（8k）²-4×6×（2k²+1）≥0，从而求

y-2

x

的取值范围．

解答： 解：（1）由题意，c=1，b=1，则a=

2

，
则椭圆的方程为

x2

2

+y2=1，
设直线l的方程为x=ay+1，与椭圆方程联立可得，

x=ay+1 x2 2 +y2=1

，
消去x化简可得，
（a²+2）y²+2ay-1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则y₁y₂=

-1

a2+2

，y₁+y₂=

-2a

a2+2

，
x₁•x₂=（ay₁+1）•（ay₂+1）
=a²

-1

a2+2

+a

-2a

a2+2

+1，
则由OP⊥OQ可得，
x₁•x₂+y₁y₂=a²

-1

a2+2

+a

-2a

a2+2

+1+

-1

a2+2

=0，
即2a²=1，
则a=±

2

2

，
则x=±

2

2

+1，即y=±

2

(x-1)，
（2）设

y-2

x

=k，则y=kx+2，与椭圆方程联立化简可得，
（2k²+1）x²+8kx+6=0，
则△=（8k）²-4×6×（2k²+1）≥0，
即16k²-24≥0，
则k≥

6

2

或k≤-

6

2

．
即

y-2

x

的取值范围为（-∞，-

6

2

）∪（

6

2

，+∞）．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的交点问题，注意用根与系数的关系简化运算，属于难题．