题目内容
13．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与y轴的正半轴相交于点M，点F1，F2为椭圆的焦点，且△MF1F2是边长为2的等边三角形，若直线l：y=kx+2$\sqrt{3}$与椭圆E交于不同的两点A、B．（1）直线MA，MB的斜率之积是否为定值；若是，请求出该定值．若不是．请说明理由．
（2）求△ABM的面积的最大值．
分析 （1）由椭圆与y轴的正半轴相交于点M，点F1，F2为椭圆的焦点，且△MF1F2是边长为2的等边三角形，求出椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．M（0，$\sqrt{3}$）．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k2+3）x2+16$\sqrt{3}kx$+36=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率公式能求出直线MA，MB的斜率之积为定值．
（2）利用弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，能求出△ABM的面积的最大值．
解答 解：（1）∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与y轴的正半轴相交于点M，点F1，F2为椭圆的焦点，且△MF1F2是边长为2的等边三角形，
∴a=2，c=1，∴b2=4-1=3，
∴椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．∴M（0，$\sqrt{3}$）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k2+3）x2+16$\sqrt{3}kx$+36=0，
△=$（16\sqrt{3}k）^{2}-4×36（4{k}^{2}+3）$＞0，解得k＞1.5或k＜-1.5，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{16\sqrt{3}k}{4{k}^{2}+3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{36}{4{k}^{2}+3}$，
kMA•kMB=$\frac{{y}_{1}-\sqrt{3}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}-\sqrt{3}}{{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}k（{x}_{1}+{x}_{2}）+3}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\frac{36{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-\frac{48{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}+3}{\frac{36}{4{k}^{2}+3}}$
=$\frac{48{k}^{2}-48{k}^{2}+9}{36}$=$\frac{1}{4}$．
∴直线MA，MB的斜率之积为定值$\frac{1}{4}$．
（2）|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（-\frac{16\sqrt{3}k}{4{k}^{2}+3}）^{2}-4×\frac{36}{4{k}^{2}+3}]}$=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$$\sqrt{3（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}-9）}$，
M（0，$\sqrt{3}$）到直线l：y=kx+2$\sqrt{3}$的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴△ABM的面积S△ABM=$\frac{1}{2}×d×|AB|$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$×$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$$\sqrt{3（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}-9）}$
=$\frac{6\sqrt{4{k}^{2}-9}}{4{k}^{2}+3}$=$\frac{6}{\sqrt{4{k}^{2}-9}+\frac{12}{\sqrt{4{k}^{2}-9}}}$≤$\frac{6}{2\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当$\sqrt{4{k}^{2}-9}$=$\frac{12}{\sqrt{4{k}^{2}-9}}$，即k2=$\frac{21}{4}$时，△ABM的面积取最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
点评 本题考查两直线的斜率之积是否为定值的判断与求法，考查三角形的面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线的斜率公式、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式的合理运用．
| A． | f（2.5） | B． | f（f（2.5）） | C． | f（f（1.5）） | D． | f（2） |
如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DE⊥AB，F是AC与DE的交点．
函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的解析式是（ ）| A． | y=2sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$） | B． | y=2sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{5π}{6}$） | C． | y=2sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$） | D． | y=2sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{5π}{6}$） |
某校100名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．