Question

4．如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DE⊥AB，F是AC与DE的交点．
（Ⅰ）求sin∠CAD的值；
（Ⅱ）求△ADF的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意分别在RT△ABC和RT△ADE由三角函数定义∠DAE和∠CAB的正余弦值，由和差角的三角函数公式可得；
（Ⅱ）由中位线可得DF=EF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，代入三角形的面积公式计算可得．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得在四边形BCDE为边长为1的正方形，
在RT△ABC中sin∠CAB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cos∠CAB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
同理RT△ADE中sin∠DAE=cos∠CAB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴sin∠CAD=sin（∠DAE-∠CAB）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{5}}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（Ⅱ）由题意可得DF=EF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
∴△ADF的面积S=$\frac{1}{2}$×DF×AE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{4}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及和差角的三角函数公式和三角形的面积，属基础题．