Question

已知命题p：方程

x2

2k-1

+

y2

k-1

=1表示椭圆；q：方程

x2

4-k

+

y2

k-3

=1表示双曲线．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,复合命题的真假,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：若命题p为真，解得k＞1，若命题q为真，解得k＜3或k＞4，由题意可知命题p与q一真一假，由此能求出实数k的取值范围．

解答： 解：若命题p为真，则

2k-1＞0 k-1＞0 2k-1≠k-1

，解得k＞1，…（3分）
若命题q为真，则（4-k）（k-3）＜0，解得k＜3或k＞4．…（6分）
由题意可知命题p与q一真一假，…（7分）
当p真q假时，则

k＞1 3≤k≤4

，解得3≤k≤4．…（9分）
当p假q真时，则

k≤1 k＜3或k＞4

解得k≤1．…（11分）
综上，实数k的取值范围{k|k≤1或3≤k≤4}．…（12分）

点评：本题考查实数k的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆和双曲线的性质的灵活运用．