题目内容
直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）
考点：抛物线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：先联立直线与抛物线方程消去x，利用韦达定理取得y1+y2和y1y2的值，进而根据直线方程求得x1x2的值，最后分别表示出AO，OB的斜率令二者相乘结果得-1解可证明出两线段垂直．
解答：
证明：联立直线与抛物线方程得y2-2y-4=0
∴y1+y2=2，y1y2=-4
∴x1x2=（y1+2）（y2+2）=y1y2+2（y1+y2）+4=4
∴
=-1
即（y1/x1）（y2/x2）=-1
kOA=
，kOB=
∴kOA•kOB=
=-1
∴OA⊥OB
∴y1+y2=2，y1y2=-4
∴x1x2=（y1+2）（y2+2）=y1y2+2（y1+y2）+4=4
∴
| y1y2 |
| x1x2 |
即（y1/x1）（y2/x2）=-1
kOA=
| y1 |
| x1 |
| y2 |
| x2 |
∴kOA•kOB=
| y1y2 |
| x1x2 |
∴OA⊥OB
点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系．解决的常用即为联立方程，消元后利用韦达定理找到解决问题的突破口．
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