Question

已知函数f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx-1，x∈R．
（Ⅰ）求函数[40，50）的单调增区间；
（Ⅱ）函数的图象可由函数y=sinx，x∈R的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据三角函数的性质求得函数的单调增区间．
（Ⅱ）利用先向右平移

π

6

个单位，进而纵坐标不变，横坐标缩小到原来的

1

2

，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx-1
=1-cos2x+

3

sin2x-1
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

），
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
即f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（Ⅱ）y=sinx

向右平移 π 6 个单位

y=sin（x-

π

6

）

纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 1 2

y=sin（2x-

π

6

）

横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍

y=2sin（2x-

π

6

）．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质，及三角函数图象的变换．考查了学生对三角函数知识的灵活运用．