Question

18．已知函数f（x）=1og₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则f（x）的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用函数是偶函数定义，求出k，然后求解函数的最值．

解答 解：函数f（x）=1og₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数，
可得：f（-x）=f（x），即：1og₄（4^-x+1）-kx=1og₄（4^x+1）+kx，
可得1og₄（4^x+1）-1og₄4^x-kx=1og₄（4^x+1）+kx，
即：-x-kx=kx，解得k=-$\frac{1}{2}$．
知函数f（x）=1og₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x．当x＞0时，1og₄（4^x+1）＞1og₄4^x=x，
1og₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x＞x-$\frac{1}{2}x$=$\frac{1}{2}x$，函数f（x）=1og₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x．是增函数，
x＜0时，f（x）=1og₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x是减函数，所以函数在x=0时取得最小值．
f（0）=1og₄（4⁰+1）-0=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，函数的奇偶性的性质与应用，考查转化思想以及计算能力．