Question

8．已知$f（x）=\frac{2^x}{{1+{2^x}}}$
（Ⅰ）求f（-1），f（1）的值；
（Ⅱ）求f（a）+f（-a）的值；
（Ⅲ）判别并证明函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的解析式计算f（-1）和f（1）的值；
（Ⅱ）根据函数解析式计算f（a）+f（-a）的值；
（Ⅲ）函数f（x）是定义域R上的单调增函数，用单调性的定义即可证明．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{2^x}{{1+{2^x}}}$，
∴f（-1）=$\frac{{2}^{-1}}{1{+2}^{-1}}$=$\frac{1}{3}$，f（1）=$\frac{2}{1+2}$=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）f（a）+f（-a）=$\frac{{2}^{a}}{1{+2}^{a}}$+$\frac{{2}^{-a}}{1{+2}^{-a}}$=$\frac{{2}^{a}}{1{+2}^{a}}$+$\frac{1}{{2}^{a}+1}$=1；
（Ⅲ）函数f（x）是定义域R上的单调增函数，
证明如下：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，（1+${2}^{{x}_{1}}$）（1+${2}^{{x}_{2}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{1{+2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}}{1{+2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{（1{+2}^{{x}_{1}}）（1{+2}^{{x}_{2}}）}$＞0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）是定义域R上的单调增函数．

点评 本题考查了利用函数的解析式求函数值以及利用定义证明函数的单调性问题．是基础题目．