Question

20．如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体．
（1）求证：B₁D₁∥平面BC₁D；
（2）求异面直线B₁D₁与BC₁所成角的大小；
（3）求证BD⊥平面ACC₁．

Answer 1

分析 （1）由B₁D₁∥BD，能证明B₁D₁∥平面BC₁D．
（2）由B₁D₁∥BD，得∠DBC₁是异面直线B₁D₁与BC₁所成角，由此能求出异面直线B₁D₁与BC₁所成角．
（3）推导出BD⊥CC₁，AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面ACC₁．

解答 证明：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴B₁D₁∥BD，
∵B₁D₁?平面BC₁D，BD?平面BC₁D
∴B₁D₁∥平面BC₁D．
解：（2）∵B₁D₁∥BD，∴∠DBC₁是异面直线B₁D₁与BC₁所成角，
∵BD=BC₁=DC₁，
∴∠DBC₁=60°，
∴异面直线B₁D₁与BC₁所成角为60°．
证明：（3）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴ABCD是正方形，BD⊥CC₁，∴AC⊥BD，
∵AC∩CC₁=C，∴BD⊥平面ACC₁．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．