Question

已知函数f﹙x﹚=﹙1+x﹚e^-2x，当x∈[0，1]时，求证：1-x≤f﹙x﹚≤

1

x+1

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：导数的概念及应用

分析：当x∈[0，1）时，（1+x）e^-2x≥1-x?（1+x）e^-x≥（1-x）e^x，令h（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x，则h′（x）=x（e^x-e^-x），由此利用导数性质能证明f（x）≥1-x；当x∈[0，1）时，f（x）≤

1

x+1

，e^x≥1+x，令u（x）=e^x-1-x，则u′（x）=e^x-1，由此利用导数性质能证明f（x）≤

1

x+1

．

解答： 证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e^-2x≥1-x?（1+x）e^-x≥（1-x）e^x，
令h（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x，则h′（x）=x（e^x-e^-x）．
当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，
∴h（x）在[0，1）上是增函数，
∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1-x．
②当x∈[0，1）时，f（x）≤

1

x+1

，e^x≥1+x，
令u（x）=e^x-1-x，则u′（x）=e^x-1．
当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，
∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，
∴f（x）≤

1

x+1

．
综上可知：1-x≤f（x）≤

1

1+x

．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．