Question

13．若函数y=f（x）同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为π；（2）在$x=\frac{π}{3}$时取得最大值1；（3）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上是增函数．则y=f（x）的解析式可以是（　　）

• A． $y=sin（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）$
• B． $y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$
• C． $y=sin（{2x-\frac{π}{6}}）$
• D． $y=cos（{2x-\frac{π}{6}}）$

Answer 1

分析 根据三个性质，依次判断各选项可得答案．

解答 解：（1）最小正周期为π；对于A选项：周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}=4π$，∴A不对．
（2）在$x=\frac{π}{3}$时取得最大值1；带入B选项，可得y=cos（$\frac{2π}{3}+\frac{π}{3}$）=cosπ=-1，∴B选项不对．、
代入C选项，可得y=sin（$\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{2}$=1，∴C选项对．
代入D选项，可得y=cos（$\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}$）=cos$\frac{π}{2}$=0，∴D选项不对．
（3）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上是增函数，令$-\frac{π}{2}≤$2x$-\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}$，可得$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，∴C对．
综上可得：C对．
故选：C．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．