Question

5．已知$\frac{π}{2}$＜α＜π，-π＜β＜0，tanα=-$\frac{1}{3}$，tanβ=-$\frac{1}{7}$，则2α+β=$\frac{7π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知利用二倍角的正切函数公式可求tan2α，利用两角和的正切函数公式可求tan（2α+β），结合2α+β的范围，由正切函数的图象和性质即可得解2α+β的值．

解答 解：∵tanα=-$\frac{1}{3}$，tanβ=-$\frac{1}{7}$，$\frac{π}{2}$＜α＜π，-π＜β＜0，
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-$\frac{3}{4}$，tan（2α+β）=$\frac{tan2α+tanβ}{1-tan2αtanβ}$=$\frac{（-\frac{3}{4}）+（-\frac{1}{7}）}{1-（-\frac{3}{4}）×（-\frac{1}{7}）}$=-1，
又∵$\frac{3π}{2}$＜2α＜2π，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，可得：2α+β∈（π，2π），
∴2α+β=$\frac{7π}{4}$．
故答案为：$\frac{7π}{4}$．

点评 本题主要考查了二倍角的正切函数公式，两角和的正切函数公式，正切函数的图象和性质在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，求出tan2α的值的关键．注意角的范围．属于基础题．