Question

4．设过函数f（x）=lnx+x的图象上任意一点处的切线为l₁，总存在过函数g（x）=2x+acosx的图象上一点处的切线l₂，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-1，2]
• B． （-∞，-3]∪[3，+∞）
• C． （-∞，-1]∪（2，+∞）
• D． （-∞，-1）∪[2，+∞）

Answer 1

分析 求得f（x）的导数，可得切线l₁的斜率k₁，求得g（x）的导数，可得切线l₂的斜率k₂，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，结合正弦函数的值域和条件可得（-1，0）⊆[2-|a|，2+|a|]，得到不等式组，解得a的范围即可．

解答 解：∵函数f（x）=lnx+x，∴f′（x）=$\frac{1}{x}+1$，x＞0，
∴过函数f（x）=lnx+x的图象上任意一点处的切线l₁的斜率k₁=$\frac{1}{{x}_{1}}+1$，
∵g（x）=2x+acosx，∴g′（x）=2-asinx，
∵过函数f（x）=lnx+x的图象上任意一点处的切线为l₁，
总存在过函数g（x）=2x+acosx的图象上一点处的切线l₂，
∴切线l₂的斜率k₂=2-asinx₂，
∵l₁⊥l₂，∴k₁k₂=（$\frac{1}{{x}_{1}}$+1）（2-asinx₂）=-1，
∴2-asinx₂=-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+1}$=-1+$\frac{1}{{x}_{1}+1}$，
∵x₁＞0，∴-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+1}$∈（-1，0），
2-asinx₂∈[2-|a|，2+|a|]，
∵?x₁，?x₂使得等式成立，
∴（-1，0）⊆[2-|a|，2+|a|]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-|a|≤-1}\\{2+|a|≥0}\end{array}\right.$，故|a|≥3，
解得：a≥3或a≤-3，
故选：B．

点评 本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及转化思想的运用，区间的包含关系，考查运算能力，属于中档题．