题目内容
已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AC=4，延长CB至D，使CB=BD．（I）求证：直线C1B∥平面AB1D；
（Ⅱ）求平面AB1D平面ACB所成角的正弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）连结C1B，由已知条件推导出四边形C1BDB1是平行四边形，由此能证明直线C1B∥平面AB1D．
（Ⅱ）以A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AB1D与平面ACB所成角的正弦值．
（Ⅱ）以A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AB1D与平面ACB所成角的正弦值．
解答：
（Ⅰ）证明：连结C1B，则C1B1=CB=DB，又C1B1∥BD，
所以，四边形C1BDB1是平行四边形，…（4分）
所以，C1B∥B1D，又B1D?平面AB1D，
所以，直线C1B∥平面AB1D．…（7分）
（Ⅱ）在△ACD中，由于CB=BD=BA，
所以，∠DAC=90°，
以A为原点，建立如图空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B1（
，1，4），D（2
，0，0）
=(2
，0，0)，
=(
，1，4)…（10分）
设平面AB1D的法向量
=（x，y，z），
则
，
所以
取z=1，则
=（0，-4，1）…（12分）
取平面ACB的法向量为
=（0，0，1）
则cos＜
，
＞=
，所以sin＜
，
＞
，
所以，平面AB1D与平面ACB所成角的正弦值为
．…（14分）
所以，四边形C1BDB1是平行四边形，…（4分）
所以，C1B∥B1D，又B1D?平面AB1D，
所以，直线C1B∥平面AB1D．…（7分）
（Ⅱ）在△ACD中，由于CB=BD=BA，
所以，∠DAC=90°，以A为原点，建立如图空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B1（
| 3 |
| 3 |
| AD |
| 3 |
| AB1 |
| 3 |
设平面AB1D的法向量
| n |
则
|
所以
|
| n |
取平面ACB的法向量为
| m |
则cos＜
| n |
| m |
| 1 | ||
|
| n |
| m |
4
| ||
| 17 |
所以，平面AB1D与平面ACB所成角的正弦值为
4
| ||
| 17 |
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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