题目内容
2．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，（a∈R）（1）当a=1时，求函数y=$\frac{g（x）}{f（x）}$在点（1，0）处的切线方程；
（2）若在[1，+∞）上不等式xf（x-1）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
分析 （1）当a=1时，求导数，求出切线的斜率，即可求函数y=$\frac{g（x）}{f（x）}$在点（1，0）处的切线方程；
（2）设函数G（x）=a（x2-x）-lnx，且G（1）=0，分类讨论，即可，求实数a的取值范围．
解答 解：（1）当a=1时，函数y=$\frac{g（x）}{f（x）}$=$\frac{lnx}{x}$，
∴y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴x=1时，y′=1，
∴函数y=$\frac{g（x）}{f（x）}$在点（1，0）处的切线方程为y=x-1；
（2）设函数G（x）=a（x2-x）-lnx，且G（1）=0．
G′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-ax-1}{x}$
①当a≤0时，有G（2）=2a-ln2＜0，不成立，
②当a＜0时，（i）a≥1时，G′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-ax-1}{x}$，当x≥1时，G′（x）≥0
所以G（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以G（x）≥G（1）=0
（ii）0＜a＜1时，设h（x）=2ax2-ax-1，h（1）=a-1＜0，
所以存在x0，使得x∈（1，0）时，h（x）＜0，∴G′（x）＜0，G（x）＜G（1）=0不成立
综上所述a≥1．
点评 考查基本初等函数求导公式，商的导数的计算公式，考查导数的几何意义，以及函数单调性定义，构造函数的方法．
练习册系列答案
相关题目
12．已知球O是的棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（ ）
| A． | π | B． | $\frac{π}{2}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{6}$ |
13．
供电部门对某社区1000位居民2016年11月份人均用电情况进行统 计后，按人均用电量分为0，10），10，20），20，30），30，40），40，50]五组，整理得到如右的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）
供电部门对某社区1000位居民2016年11月份人均用电情况进行统 计后，按人均用电量分为0，10），10，20），20，30），30，40），40，50]五组，整理得到如右的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）| A． | 11月份人均用电量人数最多的一组有400人 | |
| B． | 11月份人均用电量不低于20度的有500人 | |
| C． | 11月份人均用电量为25度 | |
| D． | 在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在30，40）一组的概率为$\frac{1}{10}$ |
17．已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为（ ）
| A． | $\frac{10π}{3}-4$ | B． | $\frac{10π}{3}-8$ | C． | $\frac{16π}{3}-4$ | D． | $\frac{16π}{3}-8$ |
7．我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=$\frac{|A{x}_{0}+B{y}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到平面x+2y+3z+3=0的距离为（ ）
| A． | 3 | B． | 5 | C． | $\frac{8\sqrt{14}}{7}$ | D． | 3$\sqrt{5}$ |