题目内容
14．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{cosθ}}\\{y=tanθ}\end{array}\right.$（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；
（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．
分析 （1）由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1$．从而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程．
（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），线段AF为圆C的直径，A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，从而C的半径为2，圆心的极坐标为（2，$\frac{π}{3}$），由此能求出点P的极坐标．
解答 解：（1）∵双曲线E的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{cosθ}}\\{y=tanθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴$\frac{{x}^{2}}{3}=\frac{1}{co{s}^{2}θ}$，${y}^{2}=ta{n}^{2}θ=\frac{si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}$=$\frac{1}{co{s}^{2}θ}-\frac{si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$=1，
∴双曲线E的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1$．
∴直线l在直角坐标系中的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，其过原点，倾斜角为$\frac{π}{6}$，
∴l的极坐标方程为$θ=\frac{π}{6}$．
（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），
∵AO⊥OF，∴线段AF为圆C的直径，
由（Ⅰ）知，|OF|=2，
又A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，
∴∠AFO=$\frac{π}{3}$，|AF|=4，
于是圆C的半径为2，圆心的极坐标为（2，$\frac{π}{3}$），
∴圆C的极坐标方程为$ρ=4cos（\frac{π}{3}-θ）$，
此时，点P的极坐标为（4cos（$\frac{π}{3}-\frac{π}{6}$），$\frac{π}{6}$），即（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）．
点评 本题考查直线的极坐标方程的求法，考查点的极坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．
如图，已知直线l过点P（2，0），斜率为$\frac{4}{3}$，直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：| A． | 2 | B． | 3 | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |