Question

12．已知球O是的棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球，则平面ACD₁截球O的截面面积为（　　）

• A． π
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 平面ACD₁是边长为 $\sqrt{2}$的正三角形，且球与与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD₁三边的中点，从而得到所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由此能求出结果．

解答 解：根据题意知，平面ACD₁是边长为 $\sqrt{2}$的正三角形，
且球与与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD₁三边的中点，
故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，
则由图得，△ACD₁内切圆的半径是$\frac{\sqrt{2}}{2}$×tan30°=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
则所求的截面圆的面积是π×$\frac{\sqrt{6}}{6}$×$\frac{\sqrt{6}}{6}$=$\frac{π}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查平面截球的截面面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、正方体的性质及构造法的合理应用．