Question

已知函数f（x）=（ax²+2x-a）e^x，g（x）=

1

2

f（lnx），其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线过坐标原点，求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[-1，1]上为单调递增函数，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）当a=0时，对于满足0＜x₁＜x₂的两个实数x₁，x₂，若存在x₀＞0，使得g′（x₀）=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

成立，试比较x₀与x₁的大小．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导函数f'（x）=[ax²+2（a+1）x+2-a]e^x，通过f'（2），求出函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线方程，通过切线过坐标原点，求出a即可．
（Ⅱ）通过f（x）在[-1，1]上为单调递增函数，只要f'（x）≥0，构造Γ（x）=ax²+2（a+1）x+2-a
通过①当a=0时，推出函数f（x）在[-1，1]上为单调递增函数．
②当a＞0时，Γ（x）=ax²+2（a+1）x+2-a，利用二次函数的性质，Γ（x）_min=Γ（-1）=-2a≥0⇒a≤0
推出矛盾．
③当a＜0时，Γ（x）=ax²+2（a+1）x+2-a类比②，得到结果．
（Ⅲ）利用g(x)=

1

2

f(lnx)=xlnx，g'（x）=lnx+1．通过导数的几何意义，说明存在x₀＞0，使得lnx0+1=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

，然后构造函数，利用新函数的导数，判断函数的单调性，然后推出x₀＞x₁即可．

解答： （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=（ax²+2x-a）e^x，∴f'（x）=[ax²+2（a+1）x+2-a]e^x
则f'（2）=（7a+6）e²，f（2）=（3a+4）e²
∴函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线为：y-f（2）=（7a+6）e²（x-2）
∵切线过坐标原点，0-f（2）=（7a+6）e²（0-2），
即（3a+4）e²=2（7a+6）e²，∴a=-

8

11

…（3分）
（Ⅱ）f'（x）=[ax²+2（a+1）x+2-a]e^x
要使f（x）在[-1，1]上为单调递增函数，只要ax²+2（a+1）x+2-a≥0
令Γ（x）=ax²+2（a+1）x+2-a
①当a=0时，Γ（x）=2x+2，在[-1，1]内Γ（x）≥Γ（-1）=0，∴f'（x）≥0
函数f（x）在[-1，1]上为单调递增函数…（4分）
②当a＞0时，Γ（x）=ax²+2（a+1）x+2-a是开口向上的二次函数，
其对称轴为x=-(1+

1

a

)＜-1，
∴Γ（x）在[-1，1]上递增，为使f（x）在[-1，1]上单调递增，
必须Γ（x）_min=Γ（-1）=-2a≥0⇒a≤0
而此时a＞0，产生矛盾
∴此种情况不符合题意            …（6分）
③当a＜0时，Γ（x）=ax²+2（a+1）x+2-a是开口向下的二次函数，
为使f（x）在[-1，1]上单调递增，必须f'（x）≥0，即Γ（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
∴

Γ(1)≥0 Γ(-1)≥0

⇒

2a+4≥0 -2a≥0

又a＜0，∴-2≤a＜0
综合①②③得实数a的取值范围为[-2，0]…（8分）
（Ⅲ）g(x)=

1

2

f(lnx)=xlnx，g'（x）=lnx+1．
因为对满足0＜x₁＜x₂的实数x₁，x₂，存在x₀＞0，使得g′(x0)=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

成立，
所以lnx0+1=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

，即lnx0+1=

x1lnx1-x2lnx2

x1-x2

，
从而lnx0-lnx1=

x1lnx1-x2lnx2

x1-x2

-1-lnx1=

x2lnx1-x2lnx2+x2-x1

x1-x2

=

ln x1 x2 +1- x1 x2

x1 x2 -1

．…（11分）
设φ（t）=lnt+1-t，其中0＜t＜1，则φ′(t)=

1

t

-1＞0，
因而φ（t）在区间（0，1）上单调递增，φ（t）＜φ（1）=0，
∵0＜x₁＜x₂，∴0＜

x1

x2

＜1，从而φ(

x1

x2

)=ln

x1

x2

+1-

x1

x2

＜0，又

x1

x2

-1＜0
所以lnx₀-lnx₁＞0，即x₀＞x₁…（14分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，构造法的应用，导数的几何意义，考查函数的单调性的应用，转化思想的应用．