Question

在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，已知

m

=（a，b），

n

=（cosA，cosB），

p

=（2

2

sin

B+C

2

，2sinA），若

m

∥

n

，

p

²=9，求证：△ABC为等边三角形．

Answer 1

考点：解三角形,平面向量的综合题

专题：解三角形

分析：由题意，将

m

∥

n

，

p

²=9转化为两个三角方程acosB=bcosA，且8sin²

B+C

2

+4sin²A=9，再变形即可证明．

解答： 证明：由题，

m

=（a，b），

n

=（cosA，cosB），

p

=（2

2

sin

B+C

2

，2sinA），若

m

∥

n

，

p

²=9，
可得acosB=bcosA，且8sin²

B+C

2

+4sin²A=9
由acosB=bcosA得，sinAcosB=sinBcosA，移项得sin（A-B）=0，所以有A-B=0，即A=B，故为等腰三角形；
由8sin²

B+C

2

+4sin²A=9得8×

1-cos(B+C)

2

+4sin²A=4sin²A+4cosA+4=9，解得cosA=

1

2

，所以A=

π

3

；
所以△ABC为等边三角形．

点评：本题考查三角形形状的判断，向量共线的坐标表示，模的求法，三角恒等变换等知识，综合性强，体现了转化的思想及方程的思想