Question

已知椭圆

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且a²=2b．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：x-y+m=0与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点在圆x²+y²=1，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，得

c a = 2 2 a2=2b a2-b2=c2

，由此能够得到椭圆的方程；
（2）设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），由

x2 2 +y2=1 y=x+m

，消去y得，3x²+4mx+2m²-2=0，再由根的判断式结合题设条件能够得到m的值．

解答： 解：（1）由题意，得

c a = 2 2 a2=2b a2-b2=c2

解得

a= 2 b=1

，则椭圆的方程为x²+

y2

2

=1；
（2）设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），
由

y=x+m 2x2+y2=2

，消去y得，3x²+2mx+m²-2=0，
△=24-8m²＞0，∴-

3

＜m＜

3

．
∴x₀=

x1+x2

2

=-

m

3

，y₀=x₀+m=

2

3

m．
∵点M（x₀，y₀）在圆x²+y²=1上，
∴

1

9

m²+

4

9

m²=1，
∴m=±

3 5

5

．检验满足△＞0成立．
故m的值为±

3 5

5

．

点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．