Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

(x∈R)．则函数f（x）在区间[0，

π

4

]上的值域为

[-

1

2

，

3

2

]

．

Answer 1

分析：利用三角函数的恒等变换花间函数的解析式为sin（2x-

π

6

），根据x的范围求得2x-

π

6

的范围，可得sin（2x-

π

6

）的范围，
从而求得函数的值域．

解答：解：∵f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

1

2

=sin（2x-

π

6

）．
当x∈[0，

π

4

]，有2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤

3

2

，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）-1≤

3

2

，
故函数f（x）在区间[0，

π

4

]上的值域为 [-

1

2

，

3

2

]，
故答案为 [-

1

2

，

3

2

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．