Question

已知函数f(x)=

(3-a)x-3 (x≤7) ax-6??? (x＞7)

，数列a_n满足a_n=f（n）（n∈N^*），且a_n是递增数列，则实数a的取值范围是

 

Answer 1

分析：由函数f(x)=

(3-a)x-3 (x≤7) ax-6??? (x＞7)

，数列a_n满足a_n=f（n）（n∈N^*），且a_n是递增数列，我们易得函数f(x)=

(3-a)x-3 (x≤7) ax-6??? (x＞7)

为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a＞1，且3-a＞0，且f（7）＜f（8），由此构造一个关于参数a的不等式组，解不等式组即可得到结论．

解答：解：∵数列{a_n}是递增数列，
又∵f(x)=

(3-a)x-3 (x≤7) ax-6??? (x＞7)

a_n=f（n）（n∈N^*），
∴1＜a＜3且f（7）＜f（8）
∴7（3-a）-3＜a²
解得a＜-9，或a＞2
故实数a的取值范围是（2，3）
故答案为：（2，3）

点评：本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量n∈N^*时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且f（7）＜f（8），从而构造出关于变量a的不等式是解答本题的关键．