Question

15．设关于x的一元二次方程x²-ax+b²=0，
（1）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，第一次向上的点数记为a，第二次向上的点数记为b，求使得方程有实根的概率；
（2）若a、b是从[1，6]中任取的两个数，求方程无解的概率．

Answer 1

分析 （1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件根据分步计数原理知是36，满足条件的事件：方程无实根，则△=b²-4a＜0即b²＜4a，通过列举法得到所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率公式求出值；
（2）全部结果所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6}，又构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6}，b²＜4a}，分别求出面积，利用几何概型故选解答．

解答 解：（1）基本事件总数为：6×6=36
若方程有实根，则△=b²-4a≥0即b²≥4a；
若a=1，则b=2，3，4，5，6，
若a=2，则b=3，4，5，6，
若a=3，则b=4，5，6，
若a=4，则b=5，6，
若a=5，则b=5，6，
若a=6，则b=5，6；
∴目标事件个数为5+4+3+2+2+2=18，
因此方程ax²+bx+1=0没有实根的概率为$\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$；
（2）全部结果所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6}，其面积为25，
又构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6，b²＜4a}，面积为${∫}_{1}^{6}\frac{{b}^{2}}{4}db=\frac{1}{12}{b}^{3}{|}_{1}^{6}$=$\frac{215}{432}$．

点评 本题考查古典概率及其运算公式以及几何概型，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．