Question

已知函数f（x）=

1

2x-1

+a为奇函数，
（1）求定义域和a的值；
（2）求证：f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，解不等式f（m+1）+f（-2m+3）＜0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的性质，f（-x）=-f（x），即可求出a的值，
（2）利用函数的单调性的定义证明即可，再根据函数为奇函数，得到关于m的不等式，解得即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

1

2x-1

+a，
∴函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f（x）=

1

2x-1

+a为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴

1

2-x-1

+a=-

1

2x-1

-a
即2a=

2x

2x-1

-

1

2x-1

=1
解得a=

1

2

（2）设x₁＜x₂∈（0，+∞），
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1-1

+

1

2

-

1

2x2-1

-

1

2

=

2x2-2x1

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵x₁＜x₂∈（0，+∞），
∴2x2-2x1＞0，2x1-1＞0，2x2-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
∵f（m+1）+f（-2m+3）＜0．
∴f（m+1）＜-f（-2m+3）=f（2m-3）．
∴

m+1＞0 2m-3＞0 m+1＞2m-3

，
解得

3

2

＜m＜4，
∵函数f（x）为奇函数，
∴f（x）在x∈（-∞，0）上单调递减，
∴

m+1＜0 2m-3＜0 m+1＞2m-3

，
解得m＜4，
综上所述不等式的解集为（-∞，4）

点评：本题主要考查奇函数的性质，函数的单调性不等式的解法，属于中档题．