题目内容
已知椭圆γ：
+y2=1的右焦点为F，左顶点为R，点A（2，1），B（-2，1），O为坐标原点．
（1）若P是椭圆γ上任意一点，
=m
+n
，求m2+n2的值；
（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（t，0），t∈（2，5），求
•
的取值范围；
（3）过F作斜率为k的直线l交椭圆γ于C，D两点，交y轴于点E，若
=λ1
，
=λ2
，试探究λ1+λ2是否为定值，说明理由．
| x2 |
| 4 |
（1）若P是椭圆γ上任意一点，
| OP |
| OA |
| OB |
（2）设Q是椭圆γ上任意一点，S（t，0），t∈（2，5），求
| QS |
| QR |
（3）过F作斜率为k的直线l交椭圆γ于C，D两点，交y轴于点E，若
| EC |
| CF |
| ED |
| DF |
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）点P在椭圆上，找出点P满足的关系式即可求解；
（2）把
•
的数量积表示出来，然后求其最值即可；
（3）根据题意把λ1+λ2的值表示出来求值即可．
（2）把
| QS |
| QR |
（3）根据题意把λ1+λ2的值表示出来求值即可．
解答：
解：（1）
=m
+n
=(2m-2n，m+n)，
得P（2m-2n，m+n）
（m-n）2+（m+n）2=1，
即m2+n2=
（2）设Q（x，y），则
•
=(t-x，-y)(-2-x，-y)
=(x-t)(x+2)+y2=(x-t)(x+2)+1-
=
x2+(2-t)x+1-2t
=
(x-
)2-
(-2≤x≤2)
由t∈（2，5），得0＜
＜2
当x=-2时，
•
最大值为0；
当x=
时，
•
最小值为-
；
∴综上所述：
•
的取值范围为[-
，0]
（3）由题，得F(
，0)，C（x1，y1），D（x2，y2），
直线l的方程为y=k(x-
)，则E(0，-
k)，
由
，得(4k2+1)x2-8
k2x+4(3k2-1)=0，
故x1+x2=
，x1x2=
由
=λ1
得x1=λ1(
-x1)，
即λ1=
，同理λ2=
所以λ1+λ2=
+
=
=
=-8
即λ1+λ2=-8为定值．
| OP |
| OA |
| OB |
得P（2m-2n，m+n）
（m-n）2+（m+n）2=1，
即m2+n2=
| 1 |
| 2 |
（2）设Q（x，y），则
| QS |
| QR |
=(x-t)(x+2)+y2=(x-t)(x+2)+1-
| x2 |
| 4 |
=
| 3 |
| 4 |
=
| 3 |
| 4 |
| 2t-4 |
| 3 |
| (t+1)2 |
| 3 |
由t∈（2，5），得0＜
| 2t-4 |
| 3 |
当x=-2时，
| QS |
| QR |
当x=
| 2t-4 |
| 3 |
| QS |
| QR |
| (t+1)2 |
| 3 |
∴综上所述：
| QS |
| QR |
| (t+1)2 |
| 3 |
（3）由题，得F(
| 3 |
直线l的方程为y=k(x-
| 3 |
| 3 |
由
|
| 3 |
故x1+x2=
8
| ||
| 4k2+1 |
| 4(3k2-1) |
| 4k2+1 |
由
| EC |
| CF |
| 3 |
即λ1=
| x1 | ||
|
| x2 | ||
|
所以λ1+λ2=
| x1 | ||
|
| x2 | ||
|
| ||
3-
|
| ||||
3-
|
即λ1+λ2=-8为定值．
点评：本题是椭圆与向量综合的题目，求最值难度比较大，属于中档题．
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