Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是BC的中点，BC=BB₁．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面 AB₁D；
（Ⅱ）求异面直线A₁C与B₁D所成焦的余弦值；
（Ⅲ）若M为棱CC₁的中点，求证：MB⊥AB₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明：连结A₁B，交AB₁与O，连结OD，O，D均为中点，推断出A₁C∥OD，
进而根据线面平行的判定定理得出A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）利用A₁C∥OD，推断出∠ODB₁为异面直线A₁C与BD所成角，令正三棱柱的棱长为1，则DB₁，OB₁，OD均可求得，利用余弦定理求得cos∠ODB₁即可得到答案．
（Ⅲ）：依据在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，推断出四边形BCC₁B₁是正方形，通过M为CC₁的中点，D是BC的中点，推断出△B₁BD≌△BCM，得出∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB，通过∠BB₁D+∠BDB₁=

π

2

求得∠CBM+∠BDB₁=

π

2

，进而判断出BM⊥B₁D，通过△ABC是正三角形，D是BC的中点，推断出AD⊥BC，利用线面垂直的判定定理推断出AD⊥平面BB₁C₁C，进而根据线面垂直的性质求得AD⊥BM，进而推断出BM⊥平面AB₁D，利用线面垂直的性质可推断出MB⊥AB₁．

解答： （Ⅰ）证明：连结A₁B，交AB₁与O，连结OD，
∵O，D均为中点，
∴A₁C∥OD，
∵A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）∵A₁C∥OD，
∴∠ODB₁为异面直线A₁C与BD所成角，
令正三棱柱的棱长为1，则DB₁=

5

2

，OB₁=

2

2

，OD=

1

2

AC=

2

2

，
在△ODB₁中，cos∠ODB₁=

O B 2 1 +D B 2 1 -OD2

2OB1•DB1

=

10

4

，
∴异面直线A₁C与B₁D所成焦的余弦值为

10

4

．
（Ⅲ）证明：∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，
∴四边形BCC₁B₁是正方形，
∵M为CC₁的中点，D是BC的中点，
∴△B₁BD≌△BCM，
∴∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB，
∵∠BB₁D+∠BDB₁=

π

2

∴∠CBM+∠BDB₁=

π

2

，
∴BM⊥B₁D，
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵BM?平面BB₁C₁C，
∴AD⊥BM，
∵AD∩B₁D，
∴BM⊥平面AB₁D，
∵AB₁?平面AB₁D，
∴MB⊥AB₁．

点评：本题主要考查了线面平行，线面垂直的性质和判定定理．立体几何在求二面角的时候，常转化为平面几何的问题易于解决．