题目内容
13．已知长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球O的体积为$\frac{32π}{3}$，其中BB1=2，则三棱锥O-ABC的体积的最大值为（ ）| A． | 1 | B． | 3 | C． | 2 | D． | 4 |
分析 设AB=a，AD=b，推导出a2+b2=12，ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=6，由此能求出三棱锥O-ABC的体积的最大值．
解答 解：设AB=a，AD=b，
∵长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球O的体积为$\frac{32π}{3}$，BB1=2，
∴外接球O的半径R=2，
∴a2+b2+4=16，
∴a2+b2=12，
∴ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=6，
∵O到平面ABC的距离d=$\frac{1}{2}$BB1=1，
S△ABC=$\frac{1}{2}ab$≤3，
∴三棱锥O-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×d$≤$\frac{1}{3}×3×1$=1．
∴三棱锥O-ABC的体积的最大值为1．
故选：A．
点评 本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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3．
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