Question

18．如图，点F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点．点A是椭圆C上一点，点B是直线AF₂与椭圆C的另一交点，且满足AF₁⊥x轴，∠AF₂F₁=30°．
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）若△ABF₁的周长为$4\sqrt{3}$，求椭圆C的标准方程；
（3）若△ABF₁的面积为$8\sqrt{3}$，求椭圆C的标准方程．

Answer 1

分析 （1）通过求解直角三角形得到A的坐标，代入椭圆方程整理，结合隐含条件求得椭圆C的离心率e；
（2）通过椭圆定义结合三角形的周长及隐含条件求得答案；
（3）由（1）得到a与c，b与c的关系，设直线AF₂的方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-c）$，代入2x²+3y²=6c²化简整理，求得B的坐标，再由点到直线的距离公式结合三角形面积求得答案．

解答 解：（1）Rt△AF₁F₂中，∵∠AF₂F₁=30°，
∴$A{F_1}={F_1}{F_2}tan{30°}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}c$，
则$A（-c，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}c）$，代入$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$并利用b²=a²-c²化简整理，
得3a⁴-2a²c²-3c⁴=0，即（a²-3c²）（3a²-c²）=0，
∵a＞c，
∴$a=\sqrt{3}c$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（2）由椭圆定义知AF₁+AF₂=BF₁+BF₂=2a，
∴△ABF₁的周长为4a，
∴$4a=4\sqrt{3}$，则$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$，
故椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（3）由（1）知$a=\sqrt{3}c$，则$b=\sqrt{2}c$，
于是椭圆方程可化为$\frac{x^2}{{3{c^2}}}+\frac{y^2}{{2{c^2}}}=1$，即2x²+3y²=6c²，
设直线AF₂的方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-c）$，代入2x²+3y²=6c²化简整理得3x²-2cx-5c²=0，
∴x=-c或$x=\frac{5}{3}c$，
则点B的横坐标为$\frac{5}{3}c$，
∴点B到直线AF₁的距离为$\frac{5}{3}c-（-c）=\frac{8}{3}c$，
∴△ABF₁的面积为$\frac{1}{2}•\frac{2\sqrt{3}}{3}c•\frac{8}{3}c=8\sqrt{3}$，
解得c=3，
∴$a=3\sqrt{3}，b=3\sqrt{2}$，
故椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{18}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆方程的求法，训练了利用定义法求椭圆方程，是中档题．