题目内容
已知向量
=（1，cosωx），
=（sinωx，
）（ω＞0），f（x）=
•
且y=f（x）图象上一个最高点的坐标为（
，2），与之相邻的一个最低点的坐标为（
，-2）
（1）求y=f（x）的解析式
（2）求y=f（x）的递增区间
（3）若x∈[0，
]时，求y=f（x）的最值．
| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（1）求y=f（x）的解析式
（2）求y=f（x）的递增区间
（3）若x∈[0，
| π |
| 2 |
考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性
专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（1）运用数量积的坐标表示，化简函数f（x），由相邻最高点和最低点的坐标，求出周期，运用周期公式求出ω，即可得到函数f（x）的表达式；
（2）运用正弦函数的单调增区间，令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，解出x即可；
（3）由x∈[0，
]时，2x+
∈[
，
]，sin（2x+
）∈[-
，1]，即可得到最值．
（2）运用正弦函数的单调增区间，令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（3）由x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
解答：
解：（1）f（x）=
•
=sinωx+
cosωx=2（
sinωx+
cosωx）=2sin（ωx+
），
∵y=f（x）图象上一个最高点的坐标为（
，2），与之相邻的一个最低点的坐标为（
，-2）
∴
=
-
，即T=π，∴ω=
=2，
∴f（x）=2sin（2x+
）
（2）令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z，
故y=f（x）的递增区间是[kπ-
，kπ+
]k∈Z．
（3）x∈[0，
]时，2x+
∈[
，
]，
sin（2x+
）∈[-
，1]，
则函数的值域为[-
，2]．
故函数的最大值为2，此时x=
；最小值为-
，此时x=
．
| m |
| n |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
∵y=f（x）图象上一个最高点的坐标为（
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
∴
| T |
| 2 |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| 2π |
| T |
∴f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
（2）令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
故y=f（x）的递增区间是[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（3）x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
sin（2x+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
则函数的值域为[-
| 3 |
故函数的最大值为2，此时x=
| π |
| 12 |
| 3 |
| π |
| 2 |
点评：本题考查三角函数式的求法，考查三角函数的单调性和值域、最值，同时考查平面向量的数量积的坐标表示，属于中档题．
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