题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（B+C）=2sinB，b=
，c=3．
（1）求a的长；
（2）求△ABC的面积．
| 5 |
（1）求a的长；
（2）求△ABC的面积．
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（1）已知等式左边利用诱导公式化简，变形后利用正弦定理化简得到a=2b，求出a的值即可；
（2）利用余弦定理表示出cosB，将a，b，c的值代入求出cosB的值，进而求出sinB的值，再由a与c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
（2）利用余弦定理表示出cosB，将a，b，c的值代入求出cosB的值，进而求出sinB的值，再由a与c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
解答：
解：（1）∵sin（B+C）=2sinB，B+C=π-A，
∴sinA=2sinB，
由正弦定理化简得：a=2b，
则a=2b=2
；
（2）∵a=2
，b=
，c=3，
∴cosB=
=
=
，
∴sinB=
=
，
则S△ABC=
acsinB=
×2
×3×
=3．
∴sinA=2sinB，
由正弦定理化简得：a=2b，
则a=2b=2
| 5 |
（2）∵a=2
| 5 |
| 5 |
∴cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| 20+9-5 | ||
12
|
2
| ||
| 5 |
∴sinB=
| 1-cos2B |
| ||
| 5 |
则S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| ||
| 5 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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