题目内容

如图所示，△ABC中G为重心，PQ过G点，
AP
=m
AB
，
AQ
=n
AC
，则
1
m
+
1
n
=
 
．
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：利用向量共线定理可得：存在实数λ使得
AG
=λ
AQ
+(1-λ)
AP
=λm
AB
+(1-λ)n
AC
．由于G为△ABC的重心，可得
AG
=
1
3
AB
+
1
3
AC
．再利用向量共面定理即可得出．
解答： 解：∵PQ过G点，∴存在实数λ，使得
AG
=λ
AQ
+(1-λ)
AP
=λm
AB
+(1-λ)n
AC
，
∵G为△ABC的重心，∴
AG
=
2
3
AD
=
2
3
×
1
2
(
AB
+
AC
)=
1
3
AB
+
1
3
AC
．
∴
λm=
1
3
(1-λ)n=
1
3
，
化为
1
m
+
1
n
=3．
故答案为：3．
点评：本题考查了向量共线定理、三角形的重心性质、向量共面定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=（1，cosωx），
n
=（sinωx，
3
）（ω＞0），f（x）=
m
•
n
且y=f（x）图象上一个最高点的坐标为（
π
12
，2），与之相邻的一个最低点的坐标为（
7π
12
，-2）
（1）求y=f（x）的解析式
（2）求y=f（x）的递增区间
（3）若x∈[0，
π
2
]时，求y=f（x）的最值．
已知算法程序如下：

若输入变量n的值为3，则输出变量S的值为
 
；若输出变量S的值为30，则变量n的值为
 
．
已知直线l的参数方程为
x=
2
2
t
y=
2
2
t+2
（其中t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，图C的极坐标方程为ρ=2
2
cos（θ+
π
4
），则过直线上的点向圆所引切线长的最小值为
 
．
设集合A={3，a }，集合B={1，b}．若A∩B={2}，则A∪B=
 
．
已知m，n，m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆
x2
m
+
y2
n
=1的焦点坐标为
 
．
若点（x，y）位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域，则2x-y的最小值为
 
．
幂函数f（x）=xa（a为实常数）的图象过点（2，4），那么f（3）的值为
 
．
如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=
3
，P矩形内的一点，且AP=
3
2
，若
AP
=λ
AB
+μ
AD
，（λ，μ∈R），則λ+
3
μ的最大值为
 
．

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