题目内容
定义非零向量
=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量
=（a，b）称为函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）已知h（x）=cos（x+a）+2cosx，求证：h（x）∈S；
（2）求（1）中函数h（x）的“相伴向量”模的取值范围；
（3）已知点M（a，b）满足条件：a=3且0＜b≤
，向量
的“相伴函数”f（x） 在x=x0处取得最大值．当点M运动时，求tan2x0的取值范围．
| OM |
| OM |
（1）已知h（x）=cos（x+a）+2cosx，求证：h（x）∈S；
（2）求（1）中函数h（x）的“相伴向量”模的取值范围；
（3）已知点M（a，b）满足条件：a=3且0＜b≤
| 3 |
| OM |
考点：利用导数研究函数的极值,两角和与差的正弦函数
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）只要将h（x）化为asinx+bcosx即可；
（2）利用向量的模的计算以及三角函数最值的求法解答；
（3）利用三角函数求f（x）取最大值时的x值，结合倍角公式以及直线OM的斜率求tan2x0的范围．
（2）利用向量的模的计算以及三角函数最值的求法解答；
（3）利用三角函数求f（x）取最大值时的x值，结合倍角公式以及直线OM的斜率求tan2x0的范围．
解答：
解：（1）证明：∵h（x）=cos（x+a）+2cosx=-sina•sinx+（2+cosa）cosx，
∴函数h（x）的相伴向量
=（-sina，2+cosa），
∴h（x）∈S；
（2）|
=
=
，
∴cosa=1时，|
|max=
=3；
cosa=-1时，|
|min=
=1．
∴|
|的取值范围为[1，3]．
（3）
的相伴函数f（x）=asinx+bcosx=
sin（x+φ），
其中cosφ=
，sinφ=
．
当x+φ=2kπ+
，k∈Z，即x0=2kπ+
-φ，k∈Z时，f（x）取得最大值．
∴tanx0=tan（2kπ+
-φ）=cotφ=
，
∴tan2x0=
=
=
，
为直线OM的斜率，由几何意义知
∈（0，
]，
令m=
，则tan2x0=
，m∈（0，
]，
当m∈（0，
]时，m-
∈（-∞，-
]，
∴tan2x0∈[-
，0）．
∴函数h（x）的相伴向量
| OM |
∴h（x）∈S；
（2）|
| OM| |
| (sina)2+(2+cosa)2 |
| 5+4cosa |
∴cosa=1时，|
| OM |
| 5+4 |
cosa=-1时，|
| OM |
| 5-4 |
∴|
| OM |
（3）
| OM |
| a2+b2 |
其中cosφ=
| a | ||
|
| b | ||
|
当x+φ=2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴tanx0=tan（2kπ+
| π |
| 2 |
| a |
| b |
∴tan2x0=
| 2tanx0 |
| 1-tan2x0 |
2×
| ||
1-(
|
| 2 | ||||
|
| b |
| a |
| b |
| a |
| ||
| 3 |
令m=
| b |
| a |
| 2 | ||
m-
|
| ||
| 3 |
当m∈（0，
| ||
| 3 |
| 1 |
| m |
2
| ||
| 3 |
∴tan2x0∈[-
| 3 |
点评：本题考查了向量与三角函数相结合的新定义的问题；向量模的计算以及三角函数最值的求法．
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