Question

18．已知α、β都是锐角，且sinα=$\frac{12}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，则cos2β=（　　）

• A． $\frac{3713}{4225}$
• B． $\frac{2047}{4225}$
• C． -$\frac{2047}{4225}$
• D． -$\frac{3713}{4225}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2β的值．

解答 解：∵α、β都是锐角，且sinα=$\frac{12}{13}$，
∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{5}{13}$，
∵cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
∴α+β为钝角，sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{3}{5}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-$\frac{4}{5}$•$\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}•\frac{12}{13}$=$\frac{16}{65}$，
 则cos2β=2cos²β-1=-$\frac{3713}{4225}$，
故选：D．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．