Question

6．已知a是实数，函数f（x）=2ax²+2x-3，如果函数y=f（x）在区间（-1，1）有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 通过讨论a的范围，结合二次函数以及一次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）若a=0，则f（x）=2x-3，
令f（x）=0得$x=\frac{3}{2}∉（-1\;，\;1）$，不符合题意，故a≠0…（3分）
（2）当a＞0时，由于f（0）=-3＜0，
∴y=f（x）在（-1，1）上可有两个不同零点或一个零点，依题意需满足$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ f（1）＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ f（-1）＞0\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ 2a+2-3＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ 2a-2-3＞0\end{array}\right.$
解之得$a＞\frac{1}{2}$…（7分）
（3）当a＜0时，f（x）在（-1，1）有零点需满足$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\-1＜-\frac{1}{2a}＜1\\△≥0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\-\frac{1}{2a}≥1\\ f（1）＞0\end{array}\right.$
无解，故a＜0时，不符合题意
由（1）（2）（3）可知f（x）在（-1，1）上有零点，
a的取值范围是$（\frac{1}{2}\;，\;+∞）$…（12分）

点评 本题考查了函数的零点问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．