Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（x∈R，A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图，
①求函数f（x）的解析式；
②求函数f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上的值域．

Answer 1

分析 ①根据函数f（x）的图象，求出周期与ω的值，再求出φ与A的值，即得函数f（x）的解析式；
②由0＜x＜$\frac{π}{2}$，得出2x+$\frac{π}{6}$的取值范围，再求sin（2x+$\frac{π}{6}$）的取值范围即可．

解答 解：①由函数f（x）的图象知，f（x）的周期为T=2（$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$）=π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2；
又点（$\frac{5π}{12}$，0）在函数f（x）的图象上，
∴Asin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=0，
即sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=0，
又0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{5π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$+φ＜$\frac{4π}{3}$，
∴$\frac{5π}{6}$+φ=π，解得φ=$\frac{π}{6}$；
又点（0，1）在函数f（x）的图象上，
∴Asin$\frac{π}{6}$=1，解得A=2，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
②由0＜x＜$\frac{π}{2}$得，0＜2x＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
即-$\frac{1}{2}$＜sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴函数f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上的值域为（-1，2]．

点评 本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．