Question

6．某公司拟投资开发新产品，估计能获得10万元至100万元的投资收益，为激发开发者的潜能，公司制定产品研制的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，同时奖金不超过投资收益的20%，奖金封顶9万元，若采用以下函数模型拟合公司奖励方案，则较适合的函数是（　　）

• A． y=$\frac{x}{20}$+2
• B． y=$\sqrt{x}$
• C． y=$\frac{x}{25}$+$\frac{5}{x}$
• D． y=4lgx-3

Answer 1

分析 由设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[10，100]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③$f（x）≤\frac{x}{5}$恒成立．然后对两个函数模型逐一分析，对三个条件全部满足的选取，三个条件有一个不满足则舍弃．

解答 解：设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：
当x∈[10，100]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③$f（x）≤\frac{x}{5}$恒成立．
①对于函数模型y=$\frac{x}{20}$+2：
当x∈[10，100]时，f（x）是增函数，则f（x）_max=f（100）=$\frac{100}{20}$+2=5+2=7．
所以f（x）≤9恒成立．
因为函数$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{1}{20}$+$\frac{2}{x}$在[10，100]上是减函数，所以[$\frac{f（x）}{x}$]_max=$\frac{1}{20}+\frac{2}{10}$=$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{5}$．
即$f（x）≤\frac{x}{5}$不恒成立．故该函数模型不符合公司要求．
②对于函数模型y=$\sqrt{x}$：
当x∈[10，100]时，f（x）是增函数，则f（x）_max=f（100）=$\sqrt{100}$=10＞9．
所以f（x）≤9不成立．故该函数模型不符合公司要求．
③于函数模型y=$\frac{x}{25}$+$\frac{5}{x}$=$\frac{1}{25}$（x+$\frac{125}{x}$）：
当x∈[10，100]时，f（x）是增函数，则f（x）_max=f（100）=$\frac{100}{25}$+$\frac{5}{100}$=4+$\frac{1}{20}$．
所以f（x）≤9恒成立．
因为函数$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{1}{25}$+$\frac{5}{{x}^{2}}$在[10，100]上是减函数，所以[$\frac{f（x）}{x}$]_max=$\frac{1}{25}$+$\frac{5}{100}$=$\frac{9}{100}$＜$\frac{1}{5}$．
即$f（x）≤\frac{x}{5}$恒成立．故该函数模型符合公司要求．
④对于函数模型f（x）=4lgx-3：
当x∈[10，100]时，f（x）是增函数，则f（x）_max=f（100）=4lg100-3=8-3=5．
所以f（x）≤9恒成立．
设g（x）=4lgx-3-$\frac{x}{5}$，则$g'（x）=\frac{4lge}{x}-\frac{1}{5}$．
当x≥10时，$g'（x）=\frac{4lge}{x}-\frac{1}{5}≤\frac{2lge-1}{5}=\frac{{lg{e^2}-1}}{5}＜0$，
所以g（x）在[10，100]上是减函数，从而g（x）≤g（10）=-1＜0．
所以4lgx-3-$\frac{x}{5}$＜0，即4lgx-3＜$\frac{x}{5}$，所以$f（x）＜\frac{x}{5}$恒成立．
故该函数模型符合公司要求．
在③和④中，③的f（x）_max=4+$\frac{1}{20}$．④的最大值为（x）_max=5．
则为了达到激励的目的，应该是收益越高，奖励的比例越高，故④比③更合适，
故选：D

点评 本题考查了函数模型的选择及应用，训练了函数最值的求法，综合性较强，有一定的难度．