Question

双曲线

x2

9

-y2=1有动点P，F₁，F₂是曲线的两个焦点，则△PF₁F₂的重心M的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的焦点坐标，设出重心坐标，以及点P（m，n ），利用重心坐标公式，求出P的坐标，m、n的解析式代入双曲线方程化简可得所求．

解答： 解：由双曲线的方程可得 a=3，b=1，c=

10

，∴F₁（-

10

，0），F₂（

10

，0）．
设点P（m，n ），则 

m2

9

-n2=1 ①．
设△PF₁F₂的重心G（x，y），
则由三角形的重心坐标公式可得
x=

m+ 10 - 10

3

，y=

n+0+0

3

，
即 m=3x，n=3y，代入①化简可得
x²-9y²=1，故△PF₁F₂的重心G的轨迹方程是 x²-9y²=1，
故答案为：x²-9y²=1．

点评：本题考查用代入法求点的轨迹方程的方法，三角形的重心坐标公式，找出点P（m，n ） 与重心G（x，y） 的坐标间的关系是解题的关键．