Question

设公差d≠0的等差数列{a_n}的首项为1，且a₂，a₅，a₁₄构成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

1

2n

（n∈N^*），求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

（n∈N^*），求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）写出等差数列的通项公式后直接由a₂，a₅，a₁₄构成等比数列列式求解；
（Ⅱ）直接利用错位相减法求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）把a_n=2n-1代入

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，取n=n-1得另一递推式，作差后求出{b_n}的通项公式，由（Ⅱ）可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，∴a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d．
由a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，得（1+4d）²=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍）或d=2．
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）由a_n=2n-1，bn=

1

2n

，得an•bn=

2n-1

2n

．
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
=

1

2

+

3

22

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

    ①

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1-( 1 2 )n-1)

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

．
∴Tn=3-

2n+3

2n

；
（Ⅲ）由a_n=2n-1，

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，得
b1+

1

3

b2+

1

5

b3+…+

1

2n-1

bn=1-

1

2n

  ③
b1+

1

3

b2+

1

5

b3+…+

1

2n-3

bn-1=1-

1

2n-1

 （n≥2）④
③-④得：

1

2n-1

bn=

1

2n-1

-

1

2n

 （n≥2），
∴bn=(2n-1)

1

2n

 （n≥2），而b1=

1

2

适合上式，
∴bn=(2n-1)

1

2n

．
由（Ⅱ）知Tn=3-

2n+3

2n

．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中高档题．