Question

定义在实数上的函数f（x）=

sinπx

1+x+x2

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：根据二次函数的性质可得0＜

1

1+x+x2

≤

2 3

3

①，易知-1≤sinπx＜0②时，f（x）取得最小值，利用不等式的乘法性质两式相乘可得结果．

解答： 解：∵

1+x+x2

=

(x+ 1 2 )2+ 3 4

≥

3

2

，当且仅当x=-

1

2

时取等号，
∴0＜

1

1+x+x2

≤

2 3

3

①，
又-1≤sinπx≤1，则-1≤sinπx＜0时，f（x）取得最小值，
则0＜-sinπx≤1②，x=-

1

2

时取得等号，
∴不等式①②相乘可得，

sinπx

1+x+x2

≥-

2 3

3

，即函数f（x）的最小值是-

2 3

3

，
故答案为：-

2 3

3

．

点评：本题考查函数最值的求解及不等式的性质应用，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．