Question

三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且

2

sinB=

3cosB

．
（1）若cosA=

1

3

，求sinC的值；
（2）若b=

7

，sinA=3sinC，求三角形ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用正弦定理化简sinA=3sinC，得到a=3c，利用余弦定理列出关系式，将b，cosB，以及a=3c代入求出c的值，进而求出a的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答： 解：（1）由

2

sinB=

3cosB

，两边平方得2sin²B=3cosB，即2（1-cos²B）=3cosB，
解得：cosB=

1

2

或cosB=-2（舍去），
又B为三角形内角，
∴B=

π

3

，
∵cosA=

1

3

，且A为三角形内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
则sinC=sin（B+A）=sin（

π

3

+A）=

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3 +2 2

6

；
（2）∵sinA=3sinC，由正弦定理可得a=3c，
∵cosB=

1

2

，b=

7

，
∴由余弦定理知：b²=a²+c²-2accosB，即7=9c²+c²-3c²，
解得：c=1，a=3c=3，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

3 3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．