Question

6．给出以下结论：
①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
②有两个相邻侧面是矩形的棱柱是正棱柱；
③各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
④一个三棱锥四个面可以都为直角三角形；
⑤长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为α，β，γ，则cos²α+cos²β+cos²γ=1．
其中正确的是④⑤（将正确结论的序号全填上）

Answer 1

分析 在①中，如果对面是矩形斜棱柱也可以做到；在②中，有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱；在③中，底面一定是菱形，不一定是正方形；在④中，一个三棱锥四个面可以都为直角三角形；在⑤中，利用面对角线的性质求解．

解答 解：在①中，必须是相邻的两个侧面是矩形的棱柱才是直棱柱，
如果对面是矩形斜棱柱也可以做到，故①错误；
在②中，有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱，不一定是正棱柱，故②错误；
在③中，各侧面都是正方形时，底面的四条边相等，
底面一定是菱形，不一定是正方形，
正棱柱的底面必须是正方形，故③错误；
在④中，一个三棱锥四个面可以都为直角三角形，
如右图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
则三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形，故④正确；
在⑤中，设对角线B₁D与长方体的棱AD、DC、D₁D所成的角分别为α、β、γ，
连结AB₁、CB₁，D₁B₁，则△B₁DA、△B₁DC、△B₁DD₁都是直角三角形．
∵cosα=$\frac{DA}{D{B}_{1}}$，cosβ=$\frac{DC}{D{B}_{1}}$，cosγ=$\frac{D{D}_{1}}{D{B}_{1}}$，
cos²α+cos²β+cos²γ=$\frac{D{A}^{2}+D{C}^{2}+D{{D}_{1}}^{2}}{D{B}^{2}}$=1．故⑤正确．
故答案为：④⑤．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．