Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（a+1）x²+ax
（1）a=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）设a＞0，x≥0，若f（x）＞-

2

3

a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）a=-1时，f（x）=

1

3

x³-x，得f′（x）=（x+1）（x-1），从而f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）递增，在（-1，1）递减；
（2）设a＞0，x≥0，若f（x）＞-

2

3

a恒成立，只需f（x）+

2

3

a＞0即可，令g（x）=f（x）+

2

3

a=

1

3

x³-

1

2

（a+1）x²+ax+

2

3

a，得g′（x）=（x-a）（x-1），再分情况讨论①0＜a＜1时②a=1时③a＞1时的a的范围，从而得出答案．

解答： 解：（1）a=-1时，f（x）=

1

3

x³-x，
∴f′（x）=（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）递增，在（-1，1）递减；
（2）设a＞0，x≥0，若f（x）＞-

2

3

a恒成立，
只需f（x）+

2

3

a＞0即可，
令g（x）=f（x）+

2

3

a=

1

3

x³-

1

2

（a+1）x²+ax+

2

3

a，
∴g′（x）=（x-a）（x-1），
①0＜a＜1时，g（x）在（0，a），（1，+∞）递增，在（a，1）递减，
∴g（x）_最小值=g（x）_极小值=g（1）=

1

3

-

1

2

（a+1）+a+

2

3

a＞0，
解得：

1

7

＜a＜1，
②a=1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）单调递增，
∴g（x）_最小值=g（0）=

2

3

a＞0，
③a＞1时，f（x）在（0，1），（a，+∞）递增，在（1，a）递减，
∴只需g（x）_最小值=g（x）_极小值=g（a）=

1

3

a³-

1

2

（a+1）a²+a²+

2

3

a＞0，
解得：1＜a＜4，
综合①②③得：a的取值范围是（

1

7

，4）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了数形结合思想，是一道中档题．