Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，△PCB为正三角形，M，N分别为BC，PD的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥面APB；
（Ⅱ）若平面PCB⊥平面ABCD，求二面角B-NC-P的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AP中点Q，连接NG，MG，由已知条件推导出四边形NQBM为平行四边形，由此能证明MN∥面PAB．
（2）法一：建立空间直角坐标系，得用向量法能求出二面角的余弦值．
（2）法二：连接PM，QM，AM，由已知条件得四边形QNCB为平行四边形，从而推导出∠PNQ为二面角P-NC-B的平面角，由此能求出二面角P-NC-B的余弦值．

解答： （1）证明：取AP中点Q，连接NQ，MQ，
由NQ平行且等于BM，得四边形NQBM为平行四边形，
从而MN∥BQ，∴MN∥面PAB．…（7分）
（2）解法一：建立空间直角坐标系如图，
则有P(0，0，

3)

A(

3

，0，0)，B（0，-1，0），C（0，1，0），D(

3

，2，0)，
由N为PD中点，∴N(

3

2

，1，

3

2

)，…（9分）
令平面PNC的法向量

n

=(x， y， z)，
由

n • EN =0 n • EP =0

，令x=-1，则

n

=(-1， 

3

， 1)． …（11分）
同理可知平面BNC的法向量可取

n2

=(

3

，0，-

3

)…（13分）
则cos＜

n

，

n2

＞=

n • n2

| n |•| n2 |

=-

10

5

，
则所求二面角的余弦值为

10

5

；…（15分）
（2）解法二：连接PM，QM，AM，
∵NQ∥MC，且NQ=MC，∴四边形QNCB为平行四边形，
∴NQ∥CB且NC∥QM，
∵BC⊥PM，BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM，∴BC⊥MQ，即BC⊥NC，
从而NC⊥NQ，又NC⊥NP，
所以∠PNQ为二面角P-NC-B的平面角，
设BC=a，则△PNQ中，NQ=

a

2

，NP=

1

2

DP=

10

4

a，PQ=

1

2

PA=

6

4

a
所以cos∠PNQ=

NP2+NQ2-PQ2

2NP•NQ

=

10

5

即二面角P-NC-B的余弦值为

10

5

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．