Question

如图：在二面角α-l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，p∈β，PA⊥α且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中点，
（1）求二面角α-l-β的大小．
（2）求异面直线MN与l所成的角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间角

分析：（1）连接PD，结合已知中ABCD为矩形，PA⊥α，我们可由三垂线定理得∠ADP为二面角α-l-β的平面角，由PA⊥α，且PA=AD，可判断△PAD为等腰直角三角形，进而得到二面角α-l-β的大小
（2）设F为DP中点．连接AF，FN，可证得FNMA为平行四边形，可得MN∥AF，利用l⊥平面PAD，即可求出异面直线MN与l所成的角的大小．

解答： 解：（1）连接PD，∵PA⊥α．∠ADC=90°
∴∠PDC=90°（三垂线定理）．
∠ADP为二面角α-l-β的平面角．
∴△PAD为等腰直角三角形．
∴二面角α-l-β为45°．
（2）设F为DP中点．连接AF，FN
则FN=

1

2

DC=AM．FN∥DC∥AM．
∴FNMA为平行四边形
∴MN∥AF，
∵l⊥平面PAD，AF?平面PAD，
∴l⊥AF，
∴l⊥MN，
∴异面直线MN与l所成的角的大小为90°．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，其中（1）的关键是证得∠ADP为二面角α-l-β的平面角，（2）的关键是证得MN∥AF．