题目内容
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=| π |
| 3 |
（1）求四棱锥A1-BB1C1C的体积；
（2）求证：C1B⊥平面ABC．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：（1）利用锥体的体积公式，即可求解；
（2）证明C1B⊥平面ABC，根据本题条件，需要证明BC1AB⊥，由AB⊥侧面BB1C1C就可以解决；而要证明C1B⊥BC，则需要通过解三角形来证明．
（2）证明C1B⊥平面ABC，根据本题条件，需要证明BC1AB⊥，由AB⊥侧面BB1C1C就可以解决；而要证明C1B⊥BC，则需要通过解三角形来证明．
解答：
（1）解：∵AB⊥侧面BB1C1C，且AB∥A1B1，∴四棱锥的高h=AB=1 …（2分）
又S底面=2•
CB•CC1•sin∠C1CB=
…（4分）
∴四棱锥的体积为
•
•1=
…（6分）
（2）证明：在△BCC1中，
∵BC=1，CC1=2，∠BCC1=
，
∴BC1=
=
，
∴∠CBC1=90°，∴BC⊥BC1，
∵AB⊥侧面BB1C1C，BC1?面BB1C1C，
∴BC1⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴BC1⊥平面ABC．…（12分）
又S底面=2•
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴四棱锥的体积为
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
（2）证明：在△BCC1中，
∵BC=1，CC1=2，∠BCC1=
| π |
| 3 |
∴BC1=
1+4-2•1•2•
|
| 3 |
∴∠CBC1=90°，∴BC⊥BC1，
∵AB⊥侧面BB1C1C，BC1?面BB1C1C，
∴BC1⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴BC1⊥平面ABC．…（12分）
点评：本题考查线面垂直、线线垂直，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键．
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