Question

设函数f（x）=sinx-cosx+x+1，0＜x＜2π，
（1）写出函数f（x）的递减区间；
（2）讨论函数f（x）的极大值或极小值，如有试写出极值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）对函数f（x）=sinx-cosx+x+1求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表求出函数单调递减区间；
（2）由（1）中的表格和极值点的两侧导数的正负，求函数极大值和极小值．

解答： 解：（1）由题意得，f′（x）=cosx+sinx+1=

2

sin(x+

π

4

)+1，
令f′（x）=0，得sin(x+

π

4

)=-

2

2

，
由0＜x＜2π得，x=π，或x=

3π

2

，
当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表：

x	（0，π）	π	（π， 3π 2 ）	3π 2	（ 3π 2 ，π）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	π+2	单调递减	3π 2	单调递增

由上表知f（x）的单调递减区间是（π，

3π

2

）；
（2）由（1）中的表格知，函数f（x）的极小值为f（

3π

2

）=

3π

2

，
极大值为f（π）=π+2．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点．