Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，其对角线交点为O，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

a．
（1）求证：面PAB⊥平面PDC；
（2）求点O到面PAB的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面垂直的判定

专题：

分析：（1）先证明CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA，再证明PA⊥PD，可得PA⊥面PDC，即可证明面PAB⊥平面PDC；
（2）证明PD⊥面PAB，可得点D到面PAB的距离为|PD|，即可求点O到面PAB的距离．

解答： （1）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，
所以CD⊥AD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PA，
又PA=PD=

2

2

AD，
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠PAD=

π

2

，
即PA⊥PD，
因为CD∩PD=D，且CD、PD?面ABCD，
所以PA⊥面PDC，
又PA?面PAB，
所以面PAB⊥面PDC；
（2）解：因为PA=PD=

2

2

a，AD=a，所以PD⊥PA
因为面PAD⊥底面ABCD交线为AD，AB⊥AD，AB?面ABCD
所以AB⊥面PAD，所以有AB⊥PD，
因为PA∩AB=A，
所以PD⊥面PAB，即点D到面PAB的距离为|PD|
又因为O为线段BD的中点，所以点O到面PAB的距离为

|PD|

2

=

2

4

a．

点评：本题考查面面垂直，考查线面垂直，考查点到平面距离，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直的判定定理是关键．