Question

【题目】如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．

(1)求证：EF⊥BC；

(2)求二面角E－BF－C的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1)先证明BC⊥平面EFO，即证EF⊥BC.（2）利用向量法求二面角E－BF－C的正弦值．

(1)证明：如图，过E作EO⊥BC，垂足为O，连接OF，

由题意得△ABC≌△DBC，可证出△EOC≌△FOC，

所以∠EOC＝∠FOC＝，即FO⊥BC，

又EO⊥BC，EO∩FO＝O，

因此BC⊥平面EFO.又EF平面EFO，

所以EF⊥BC.

(2)证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)，

因而E(0，，)， F(，，0)，

由题得平面BFC的一个法向量为n1＝(0,0,1)．

设平面BEF的法向量为n2＝(x，y，z)，

又＝(，，0)，＝(0，，)，由

得其中一个n2＝(1，－，1)．

设二面角E－BF－C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，

则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，

因此sin θ＝＝，即二面角E－BF－C的正弦值为.